Синтез цифрових регуляторів шляхом задання степенів стійкості і коливальності автоматизованих систем керування

Abstract

Розглянуто синтез цифрових регуляторів, які характеризуються коефіцієнтом підсилення та мають один нуль і один полюс. На прикладі типового об’єкта керування другого порядку показано, що такі регулятори можна синтезувати таким чином, щоб результуюча автоматизована система керування мала степені стійкості і коливальності не гірше заданих. Це досягається розміщенням трьох коренів характеристичного рівняння такої системи на z-площині таким чином, щоб вони не виходили за межі зон, обмежених лініями постійного степеня стійкості і постійного степеня коливальності. Перехідний процес в такій системі, отриманий в результаті моделювання в пакеті Simulink, показав свою відповідність заданим степеням стійкості і коливальності. Межа зони, яка є лінією постійного степеня стійкості на z-площині, представляє собою коло – із збільшенням степеня стійкості радіус такого кола зменшується. Межа зони, яка є лінією постійного степеня коливальності на z-площині, представляє собою спіраль – із зменшенням степеня коливальності розміри такої спіралі також зменшуються. Таким чином, z-площина умовно розділяється на чотири зони: зону I, в якій не виконуються умови ні заданого степеня стійкості, ні заданого степеня коливальності; зону II, в якій виконується умова заданого степеня стійкості; зону III, в якій виконується умова заданого степеня коливальності; зону IV, в якій виконуються умови і зданого степеня стійкості, і заданого степеня коливальності. Таке розміщення коренів характеристичного рівняння досягалося розв’язанням системи з трьох рівнянь, в яку в якості невідомих входили коефіцієнт підсилення цифрового регулятора, його один нуль і його один полюс. Необхідно зауважити, що, з одного боку, наявність заданих степенів стійкості і коливальності не виключає, наприклад, наявності у автоматизованої системи керування статичної похибки. Але при цьому, з іншого боку, можна підібрати цифровий регулятор з більш складною структурою і, виконавши аналогічні обчислення, зробити таку систему астатичною, внаслідок чого статична похибка буде дуже малою або взагалі буде відсутньою.

Рассмотрено синтез цифровых регуляторов, которые характеризуются коэффициентом усиления и имеют один нуль и один полюс. На примере типового объекта управления второго порядка показано, что такие регуляторы можно синтезировать таким образом, чтобы результирующая автоматизированная система управления имела степени устойчивости и колебательности не хуже заданных. Это достигается размещением трёх корней характеристического уравнения такой системы на z-плоскости таким образом, чтобы они не выходили за пределы зон, ограниченных линиями постоянной степени устойчивости и постоянной степени колебательности. Переходный процесс в такой системе, полученный в результате моделирования в пакете Simulink, показал своё соответствие заданным степеням устойчивости и колебательности. Граница зоны, которая является линией постоянной степени устойчивости на z-плоскости, представляет собой круг – с увеличением степени устойчивости радиус такого круга уменьшается. Граница зоны, которая является линией постоянной степени колебательности на z-плоскости, представляет собой спираль – с уменьшением степени колебательности размеры такой спирали также уменьшаются. Таким образом, z-плоскость условно разделяется на четыре зоны: зону I, в которой не выполняются условия ни заданной степени устойчивости, ни заданной степени колебательности; зону II, в которой выполняется условие заданной степени устойчивости; зону III, в которой выполняется условие заданной степени колебательности; зону IV, в которой выполняются условия и заданной степени устойчивости, и заданной степени колебательности. Такое размещение корней характеристического уравнения достигалось решением системы из трёх уравнений, в которую в качестве неизвестных входили коэффициент усиления цифрового регулятора, его один ноль и его один полюс. Необходимо заметить, что, с одной стороны, наличие заданных степеней устойчивости и колебательности не исключает, например, наличия у автоматизированной системы управления статической ошибки. Но при этом, с другой стороны, можно подобрать цифровой регулятор с более сложной структурой и, выполнив аналогичные вычисления, сделать такую систему астатической, вследствие чего статическая ошибка будет очень малой или вообще будет отсутствовать.

The synthesis of digital controllers, which are characterized by a gain and have one zero and one pole, is considered. Using the example of a typical second-order control object, it is shown that such controllers can be synthesized in such a way that the resulting automated control system has degrees of stability and oscillation no worse than the specified ones. This is achieved by placing the three roots of the characteristic equation of such a system on the z-plane so that they do not go beyond the zones bounded by the lines of constant degree of stability and constant degree of oscillation. The transient process in such a system, obtained as a result of modeling in the Simulink package, showed its compliance with the specified degrees of stability and oscillation. The border of the zone, which is a line of constant degree of stability on the z-plane, is a circle – with an increase in the degree of stability, the radius of such a circle decreases. The border of the zone, which is a line of constant degree of oscillation on the z-plane, is a spiral – with a decrease in the degree of oscillation, the dimensions of such a spiral also decrease. Thus, the z-plane is conventionally divided into four zones: zone I, in which the conditions of neither a given degree of stability, nor a given degree of oscillation are satisfied; zone II, in which the condition of a given degree of stability is satisfied; zone III, in which the condition of a given degree of oscillation is satisfied; zone IV, in which the conditions of both a given degree of stability and a given degree of oscillation are satisfied. Such an arrangement of the roots of the characteristic equation was achieved by solving a system of three equations, which included the gain of the digital controller, its one zero and its one pole as unknowns. It should be noted that, on the one hand, the presence of specified degrees of stability and oscillation does not exclude, for example, the presence of a static error in the automated control system. But at the same time, on the other hand, it is possible to choose a digital controller with a more complex structure and, having performed similar calculations, make such a system astatic, as a result of which the static error will be very small or absent altogether.