Аналитическое решение задачи устойчивости стержня с произвольной непрерывной переменной жесткостью при идеальных граничных условиях

Abstract

Отримано аналітичне подання для поздовжньої сили, що містить безрозмірний параметр, названий нами коефіцієнтом стійкості, внаслідок чого завдання відшукання критичної сили для стержня з безперервною жорсткістю зводиться до відшукання зазначеного коефіцієнта стійкості шляхом послідовного обчислення дійсних коренів характеристичних многочленів. Отримано точний аналітичний розв'язок диференціального рівняння поздовжнього вигину стрижня зі змінною поперечною жорсткістю, стисненого постійною осьовою поздовжньою силою. В аналітичному вигляді виписані формули для переміщень і внутрішніх зусиль в довільному перерізі стрижня. Ці формули виражені через початкові параметри і придатні для дослідження стійкості стрижня при будь-яких можливих граничних умовах. Математична задача визначення коренів характеристичних многочленів для відшукання коефіцієнтів стійкості і подальшого визначення критичних сил добре вивчена і не викликає принципових труднощів. Для цього існує ціла безліч чисельних методів і програмних можливостей.

Получено аналитическое представление для продольной силы, содержащее безразмерный параметр K , названный нами коэффициентом устойчивости, вследствие чего задача отыскания критической силы для стержня с непрерывной жесткостью сводится к отысканию указанного коэффициента устойчивости путем последовательного вычисления вещественных корней характеристических многочленов. Получено аналитическое решение уравнения продольного изгиба стержня с переменной поперечной жесткостью, сжатого постоянной осевой продольной силой. В аналитическом виде выписаны формулы для перемещений и внутренних усилий в произвольном сечении стержня. Эти формулы выражены через начальные параметры и пригодны для исследования устойчивости стержня при любых возможных граничных условиях. Математическая задача определения корней характеристических многочленов для отыскания коэффициентов устойчивости и определения критических сил хорошо изучена и не вызывает принципиальных затруднений. Для этого существует множество численных методов.

An analytical representation of the longitudinal force, containing a dimensionless parameter called us a factor of stability, so that the problem of finding the critical force for a rod with a continuous stiffness is reduced to finding the specified rate stability through the consistent calculation of real roots of the characteristic polynomial. An exact analytical solution of the differential equation of buckling rod with variable lateral stiffness, compressed constant axial longitudinal force. The analytical form of written formulas for the displacements and internal forces in an arbitrary section of the rod. These formulas are expressed in terms of the initial parameters and are suitable for investigating the stability of the rod at all possible boundary conditions. The mathematical problem of determining the roots of the characteristic polynomials for finding the factors of stability and subsequent determination of the critical power is well understood and causes no fundamental difficulties. For this there is a whole lot of numerical methods and software capabilities.